Cauchy on the Determination of Orbits

Astronomers at a given time of observation can measure the geocentric latitude and longitude of a comet or planet. Subsequent observations made near in time permit the estimation of the velocity of the object. Under the assumption that the orbit of the object is a conic section, it follows that four observations suffice to determine the orbit uniquely.

See also the memoir of Lagrange "Nouvelle Méthode pour déterminer l'Orbite des Comètes d'apres les Observations," Connaissance des Temps... pour l'an 1821 (1818) in which he develops a solution with an equation of seventh degree

Application of Method of Interpolation

The first three papers concern the simplification of the equations of orbits in which Cauchy introduces his method of interpolation. His last paper in this section considers adjustment for the aberration of light.

(1846) "Méthodes nouvelles pour la détermination des orbites des corps célestes, et en particulier des comètes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 23, 887-892. OC I, 10, (350) 196-201.

(1846) "Sur l'application de la nouvelle formule d'interpolation à la détermination des orbites que décrivent les corps célestes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 23, 956-959. OC I, 10, (352) 206 - 209.

(1846) "Notes sur les formules relatives à la détermination des orbites que décrivent les corps célestes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 23, 1002-1014. OC I, 10, (353) 210-223.

The Problem is divided

These next set of papers now refine the process into separate parts. The first is to find the geocentric latitude and longitude as a function of time. The second to determine the distance of the object to the sun and to the earth.

(1847) "Mémoire sur la détermination des orbites des planètes et des comètes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 401-413. OC I, 10 (380), 374-389. Read 20 September. The process is applied to the orbit of Mercury.

(1847) "Second mémoire sur la détermination des orbites des planètes et des comètes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 475-478. OC I, 10 (381), 389-393. Read 4 October. A simplification occurs if the observations are made at equidistant points of time.

(1847) "Note sur l'application des formules établies dans les précédentes Séances." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 531-536. OC I, 10 (382), 394-399. Read 18 October. An application is now made to the orbit of the asteroid Hebe discovered by Henke.

Analysis of Errors

At this point Cauchy takes up the study of errors. He is seeking the simultaneous solution of several equations. He makes brief note that his method also can be applied to yield the results of the method of least squares.Of particular note is a reference to Lagrange's memoir published in the Connaissance des Tems for 1821.

(1847) "Méthode générale pour la résolution des systèmes d'équations simultanées." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 536-538. OC I, 10 (383), 399-402. Read 18 October.

(1847) "Mémoire sur le degré d'exactitude avec lequel on peut déterminer les orbites des planètes et des comètes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25 (384), 572-579. OC I, 10, 403-412. Read 25 October.

(1847) "Application des formules que fournit la nouvelle méthode d'interpolation à la résolution d'un système d'équations linéares approximatives, et, en particulier, à la correction des élements de l'orbite d'un astre." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 650-656. OC I, 10 (385), 412-420. Read 8 November.

(1847) "Mémoire sur la détermination et la correction des éléments de l'orbite d'un astre." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 700-705. OC I, 10 (386), 420-426. Read 15 November.

Use of derivatives of the first order in the equations

The change in position of an object permits an estimation of the velocity.

(1847) "Mémoire sur la détermination de l'orbite d'une planète à l'aide des formules qui ne renferment que les dérivées du premier ordre des longitude et latitude géocentriques." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 775-781. OC I, 10 (387), 427-434. Read 29 November.

(1847) "Addition au mémoire sur la détermination des orbite d'une planète, à l'aide de formules qui ne renferment que les dérivees du premiere ordre des longitude et latitude géocentriques." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 879-883. OC I, 10 (388), 434-438. Read 13 December.

Use of finite differences in the equations

Now the change in position of an object as observed is not a differential but rather a difference. Memoir 389 studies the case of 5 observations. Memoir 392 estimates the maximum error or degree of precision. Memoirs 393 and 396-398 consider 3 observations.

(1847) "Sur deux formules générales, dont chacune permet de calculer rapidement des valeurs très approchées des élémens de l'orbite d'une planète ou d'une comète." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 25, 953-959. OC I, 10 (389), 438-446. Read 27 December.

(1848) "Mémoire sur quelques propriétes remarquables des fonctions interpolaires, et sur le parti qu'on en peut tirer pour une détermination sûre et facile des éléments de l'orbite d'un planète ou d'une comète." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 26, 29-33. OC I, 10 (392), 451-457. Read 10 January.

(1848) "Formules pour la détermination des orbites des planètes et des comètes." Comptes Rendus Hebd. Séances Acad. Sci. 26, 57-61, 133-136, 157-162, 236-240. OC I, 10 (393, 396, 397, 398), 457-462, 467-481. Read 17 January, 24 January, 31 January, 21 February.